《混沌之新数学》读书笔记:04-最后一个通才

在这一章中,混沌终于要正式登场了,它是由一个天才数学家带给我们的,这个人就是混沌学之父庞加莱。

这里不像本章那样,花大量的篇幅来介绍庞加莱,我们只关注混沌本身。

太阳系是稳定的吗?

1887年,瑞典国王奥斯卡二世为征求天文学中一个基本问题的答案而悬赏 2500 克朗:太阳系是稳定的吗?

那么,什么是稳定?本书作者在本章给出了精彩的论述,我们不得不多多地将这些论述摘抄下来。

如果静止或运动状态在小扰动作用下变化不大,它就是稳定的。平放着的大头针是稳定的。理论上大头针可以立在针尖上平衡,但实际上只要隔壁房间一只小虫抖一下翅膀,它就会倒下,因此是不稳定的。

特定的静止或运动状态究竟是否存在,可以通过分析这种状态是否为平衡状态进行判断。如果一枚竖直放置的大头针向下的重力精确地通过支撑点,且与该点的反作用力等值且反向,则这种状态就是存在的。至于这种状态是否稳定,可以通过分析其邻近状态来推断。使大头针稍微倾斜,质心向一边偏过一点,这时反作用力和重力形成大小相等而方向不再精确相反地一对力偶。这对力偶促使大头针朝着倾斜的方向继续旋转,初始偏转被放大,说明此位置是不稳定的。

稳定性是比存在性复杂得多的问题。稳定和不稳定状态都是同一基本动力学方程的解,用数学方法对他们进行分析的难易程度是一样的。但在实验上,不稳定的静止状态从来观测不到,因为微小的外部影响就会破坏它。不稳定的运动状态可以观测到,但只作为一种暂态现象——这时系统处在从原来的不稳定状态到最终将到达的任一地方(稳定状态)的途中。

观察不稳定状态还有另一种途径:采取特殊措施使它稳定,即觉察出任何偏离不稳定状态的运动并加以校正,如同走钢丝者保持平衡那样。但这样的考虑,与其说属于动力学,毋宁说更属于控制理论。

太阳系是动力学的一个极其复杂的部分。太阳系是仍旧走老路,还是将滑向一边,掉进宇宙深沟中?这个问题或许不那么重要,因为那将是不知多少亿年后的事了;且无论如何,太阳系有可能先爆炸。然而,对该问题的研究将涉及一个影响深远的普遍性问题:弄清怎样研究复杂动力学系统中的稳定性问题。

庞加莱的解答

庞加莱向奥斯卡国王难题发起了进攻。为了进行这项研究,他发展了一个新的数学分支——拓扑学。

拓扑学也被形容为“橡皮几何学”。更恰当地说,它是连续性的数学。连续性是光滑、渐变的研究,是不中断现象的科学。不连续性则是突然性的剧变,是因为微小改变导致结果巨大变化的地方。双手揉捏一块面团,是在用连续的方式使它变形;但当拉断面团时,变形就成了不连续的。连续性是所有数学性质中最基本的性质之一。拓扑学是一种几何学,不过它是一种长度、角度、面积和形状都无限可变的几何学。拓扑学只研究形状在可逆的、连续的变换下不改变的那种性质。可逆指的是做逆变换也必须是连续的。

庞加莱在使用了许多术语来描述拓扑学,如连续映射、紧致空间、流形、三角剖分、同调群、切除公理,他几乎是生造了这个拓扑世界。不过直到20世纪60年代中期,拓扑学中的所有主要问题才终于被理顺。

太阳系是否稳定的问题,其最简化的模型就是三体问题。对于二体问题,如仅由太阳和地球组成的宇宙,则他们的运动必然是周期性的,周期性就以为着稳定。对于三体甚至多体问题,情况就复杂得多。1890年,庞加莱发表了一片长达270页的论文:《论三体问题和动力学方程》。在该论文中,庞加莱指出,只要三体系统的运动是周期性的,则描述系统的微分方程在特定时刻将具有唯一解,系统就是稳定的。接下来就是论证描述系统的微分方程是否存在周期解。庞加莱把方程的有关变量展开成无穷级数,这些级数项都是时间的周期函数。并指出只要这些级数项的和收敛,则方程的解趋于唯一值,系统就是稳定的。然而他并没有去证明这些级数和的收敛性,或许他无法证明,他完全是用另外一种方法来证明周期解的存在性的。

下面是庞加莱的思想。设想系统的状态由某种巨维相空间中一点的坐标来表示。当系统随时间演化时,这点的运动描出一条曲线(轨线)。要使状态再次回复,这条曲线必须围成一个环。曲线何时成为闭合的环?这个问题与环的形状、大小、位置统统无关:它是一个拓扑学问题。庞加莱还给出了怎样求解这种闭环的思想。我们仍然借用本书所举的例子来说明这种思想。假设我们想知道某个绕地球轨道旋转的人造卫星的轨道是不是周期性的,与其始终追踪卫星,不如摆正望远镜,使他扫过横贯南北地平线并从地心笔直上指的平面(这个平面就是庞加莱截面)。卫星隔一段时间穿过这个平面。当第一次穿过该平面时,记录下穿过的位置、速度和运动方向。当卫星下一次穿过该平面时,再进行观察。如果这两次穿过该平面的位置、速度和运动方向都相同,则表明卫星的运动轨道是周期性的。

接下来,庞加莱用这种方法来分析三体运动是不是周期性的。他使用了一个更加简化的理想三体问题——希尔约化模型(或称限制性三体问题)。在该模型中,三体中的一体质量非常小,可以认为它对另外两体不起作用,就如同一粒尘埃相对于海王星和冥王星。这样,海王星和冥王星做周期性运动,而尘埃围绕他们的运动就像是在一个旋转又固定的地形上滚动的小球。庞加莱使用他的截面来描述尘埃的运动。他发现尘埃的运动极其复杂,它完全无规律地穿过庞加莱截面。庞加莱发现这个系统的演变经常是浑沌的,意思是说如果初始状态有一个小的扰动,例如一个体的初始位置有一个小的变动,则后来的状态可能会有极大的不同。如果该小变动不能被我们的测量仪器所探测,则我们不能预测最终状态为何。

上一章末的问题显然已经有了答案,因为像希尔约化模型这样简单的系统,也会出现极其复杂的动力学特征。

庞加莱没有成功给出奥斯卡国王问题的一个完整的解答,但他的工作令人印象深刻,以至于他还是在1888年赢得了奖金。裁判之一,著名的卡尔·魏尔施特拉斯说:“这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答,但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。” 实际上,何止天体力学的新时代,这是混沌研究的开端。