《混沌之新数学》读书笔记:03-误差定律

上一章介绍了在经典数学物理学中,可以基于少数几条定律,通过微分方程描述世界的范式,这是一种确定论方法。这种范式表面上似乎能描述一切,但往往由于事物本身的复杂性,实际对大多数问题仍然无法得出结果。如虽然我们能大致计算太阳系中 50 个左右天体在相对较短时间内的运动规律,但 1 毫克气体大约包含 100 万亿个分子,要全部列出其运动方程显然是不现实的。然而,虽然气体分子的运动很复杂,但气体还是以一种很规则的方式表现他们的性态,我们可以找出气体这种粗略的、平均性的性态规律。

这种方法是与微分方程描述法完全不同的,它是一个新的范式,即基于概率论和统计学,来刻画高度复杂系统的运动的粗糙特征。

接下来,作者用很大的篇幅介绍了概率论和统计学的发展历史,以及他们在社会科学和自然科学中的应用。由于这两门学科的思想和方法早已为大家所熟悉,仅通过简短的文字也难以再现书中的精彩,因此这里不再重述。

基于统计方法,可以得出无秩序的气体运动的性态规律。这样一来,无秩序已不再是无规律的同义词,秩序和无秩序都有规律。只是一种规律属于有秩序规律,另一种属于无秩序规律。

微分方程可从原理上确定系统的演化,但只适用于少自由度的比较简单、结构良好的系统。统计学是对平均量的统计分析,它可以刻画多自由度的高度复杂系统的运动的粗糙特征。在数学上,两个范式具有同等地位,他们之间不存在任何关系。这种对简单系统和复杂系统处理范式的不同隔离了简单系统和复杂系统的联系。

那么,简单性和复杂性之间是否会存在什么共同之处呢?简单的确定性系统就一定有秩序吗?我们需要使用混沌来找出这些问题的答案。