本章将介绍人们首次深入认识的一种自然界的混沌现象——大气运动中存在的混沌，并借此分析混沌的性质。

天气预报

1922年，理查森发表一篇报告《用数值方法进行天气预报》，构想如何用数学方法进行天气预报。其中有一个异想天开的幻想——天气预报厂——基于许多人操控计算器，最终实现实时的、甚至超前的天气预报。

1950年，美国 ENIAC 计算机就作出了天气预报方面首例成功的计算。1953年，普林斯顿 MANIAC 计算机表明，正常天气预报是完全可行的。

用数值方法进行天气预报，实际上是在已知区域内所有点的各种变量初值（气压、气温、适度、风速等），以大气的运动方程作为运动规则，基于对微小时间步长的无限次迭代，得到将来的天气。由于计算模型和计算机精度的原因，我们所构建的看似连续的模拟模型实际上都是离散模型。如在模拟中，时间都是为微小的步长嘀嗒嘀嗒地向前，而不是连续地流逝。所有数只能以计算机所能表达的最小的浮点数的倍数变化。

天气预报的模型非常复杂，用于天气预报的计算机必须以惊人的高速运行。由于模型精细化的欠缺以及在迭代中误差的积累，要在长期时间内精确进行天气预报是不可能的，尤其是无法预报天气模式的突然变化。历史上已经存在很多天气预报的失败案例了。到目前为止，进行长期的天气预报仍然不可能。

本章将讲述混沌是怎样产生的，以及混沌的几何图景。由于有很多新概念，本文将注定冗长而晦涩。

二维相图的解析

还记得我们在上一章所得出的摆的相图吧？那个在平面图上看起来像眼睛，随后我们又让它分别处在圆筒和U形管上的东西。这东西看起来很奇怪，那就使用更简单的例子来描述非线性运动，假设我们只针对两个自由度的问题进行分析，得到如图1所示的相图。不过相对于无摩擦摆的相图，该系统是有摩擦的，即非哈密顿系统。

之所以将图1称为流的相图，已在上一章说过，多数非线性动力学中的运动都可以虚拟为流体的流动，从不同的初始条件出发，就相当于从流场中不同的位置出发，可以得到不同的轨线，此轨线也相当于流场中的流线。图1这样的相图描述了微分方程解的情况。如果选定从一个初始点出发，顺着流线到了下一个点，则第二个点就是在以初始点为初始条件时微分方程的解。例如，在用计算机进行数值计算时，可以根据以一个用常微分方程描述的速度场，利用欧拉法或隆格-库塔法追踪此流线，即相当于求解此常微分方程。图1展示了许多流线，即在不同的初始条件下微分方程解的情况，该图同时反映了这些流线相互配合的情况，因此称作方程的相图。在此图中，相邻曲线的形状和方向相近，这说明运动是连续的，没有任何一个概念流体粒子被撕开朝不同的方向运动。

在该图，还有如下 4 个特征：

• 图的左边有一个点，所有邻近流线以螺旋形向它靠拢，该点称作汇。
• 右边有一个出水孔，所有邻近流线以螺旋形离开，该点称作源。
• 中间有一个似乎是流线发生交叉的点，该点称作鞍。
• 右边的源被一个闭合的环围绕，流体沿着该环转圈，这是极限环。

典型地，平面流只有这 4 个基本特征。这也是具有 2 个自由度的微分方程所拥有的特征。

本章将借助“摆”这一经典力学结构，来说明非线性特征是如何出现在看似线性的、简单的系统中，以及如何用几何学描述非线性问题的特征。

摆运动的微分方程

首先来看看用经典的数学物理方法如何对摆进行分析。为了叙述更加准确，这里没有全部采用本书中对摆的求解，而是大量借用维基百科中关于摆的数学分析一文。

建模

对于常见的摆，我们进行如下假设以简化模型：

• 摆杆是刚性无质量的；
• 重锤的质量集中于一点；
• 运动仅发生于一个平面内；
• 无摩擦阻力和空气阻力；
• 重力场是均匀的；
• 中心点不发生位移。

这样的摆叫做简单重力摆。

在这一章中，混沌终于要正式登场了，它是由一个天才数学家带给我们的，这个人就是混沌学之父庞加莱。

这里不像本章那样，花大量的篇幅来介绍庞加莱，我们只关注混沌本身。

太阳系是稳定的吗？

1887年，瑞典国王奥斯卡二世为征求天文学中一个基本问题的答案而悬赏 2500 克朗：太阳系是稳定的吗？

那么，什么是稳定？本书作者在本章给出了精彩的论述，我们不得不多多地将这些论述摘抄下来。

如果静止或运动状态在小扰动作用下变化不大，它就是稳定的。平放着的大头针是稳定的。理论上大头针可以立在针尖上平衡，但实际上只要隔壁房间一只小虫抖一下翅膀，它就会倒下，因此是不稳定的。

特定的静止或运动状态究竟是否存在，可以通过分析这种状态是否为平衡状态进行判断。如果一枚竖直放置的大头针向下的重力精确地通过支撑点，且与该点的反作用力等值且反向，则这种状态就是存在的。至于这种状态是否稳定，可以通过分析其邻近状态来推断。使大头针稍微倾斜，质心向一边偏过一点，这时反作用力和重力形成大小相等而方向不再精确相反地一对力偶。这对力偶促使大头针朝着倾斜的方向继续旋转，初始偏转被放大，说明此位置是不稳定的。

稳定性是比存在性复杂得多的问题。稳定和不稳定状态都是同一基本动力学方程的解，用数学方法对他们进行分析的难易程度是一样的。但在实验上，不稳定的静止状态从来观测不到，因为微小的外部影响就会破坏它。不稳定的运动状态可以观测到，但只作为一种暂态现象——这时系统处在从原来的不稳定状态到最终将到达的任一地方（稳定状态）的途中。

观察不稳定状态还有另一种途径：采取特殊措施使它稳定，即觉察出任何偏离不稳定状态的运动并加以校正，如同走钢丝者保持平衡那样。但这样的考虑，与其说属于动力学，毋宁说更属于控制理论。

太阳系是动力学的一个极其复杂的部分。太阳系是仍旧走老路，还是将滑向一边，掉进宇宙深沟中？这个问题或许不那么重要，因为那将是不知多少亿年后的事了；且无论如何，太阳系有可能先爆炸。然而，对该问题的研究将涉及一个影响深远的普遍性问题：弄清怎样研究复杂动力学系统中的稳定性问题。

上一章介绍了在经典数学物理学中，可以基于少数几条定律，通过微分方程描述世界的范式，这是一种确定论方法。这种范式表面上似乎能描述一切，但往往由于事物本身的复杂性，实际对大多数问题仍然无法得出结果。如虽然我们能大致计算太阳系中 50 个左右天体在相对较短时间内的运动规律，但 1 毫克气体大约包含 100 万亿个分子，要全部列出其运动方程显然是不现实的。然而，虽然气体分子的运动很复杂，但气体还是以一种很规则的方式表现他们的性态，我们可以找出气体这种粗略的、平均性的性态规律。

这种方法是与微分方程描述法完全不同的，它是一个新的范式，即基于概率论和统计学，来刻画高度复杂系统的运动的粗糙特征。

接下来，作者用很大的篇幅介绍了概率论和统计学的发展历史，以及他们在社会科学和自然科学中的应用。由于这两门学科的思想和方法早已为大家所熟悉，仅通过简短的文字也难以再现书中的精彩，因此这里不再重述。

基于统计方法，可以得出无秩序的气体运动的性态规律。这样一来，无秩序已不再是无规律的同义词，秩序和无秩序都有规律。只是一种规律属于有秩序规律，另一种属于无秩序规律。

微分方程可从原理上确定系统的演化，但只适用于少自由度的比较简单、结构良好的系统。统计学是对平均量的统计分析，它可以刻画多自由度的高度复杂系统的运动的粗糙特征。在数学上，两个范式具有同等地位，他们之间不存在任何关系。这种对简单系统和复杂系统处理范式的不同隔离了简单系统和复杂系统的联系。

那么，简单性和复杂性之间是否会存在什么共同之处呢？简单的确定性系统就一定有秩序吗？我们需要使用混沌来找出这些问题的答案。

上一章曾经说过，在我们人类历史上，我们曾一度乐观地认为一切皆有秩序，那就先来看看在那样的纯真年代，我们是如何描绘世界的美景，以及夹杂在其中的少数不和谐音符。

仰望星空

人类构建自然界秩序的历史故事很长很长，作者在本章是从天文研究历史开始讲述的，这里只列出一个枯燥的列表：

1. 古希腊泰勒斯在公元前585年成功预测日食；
2. 古希腊毕达哥拉斯强调用数描述宇宙，柏拉图认为地球是圆的，位于宇宙的中心；
3. 古希腊欧多克斯、阿波洛尼斯、托勒密等人逐渐建立了越来越准确、也越来越复杂的“本轮”天体模型；
4. 对在希腊安迪基提腊小岛发现的公元前70年的齿轮传动装置（称为安迪基提腊机构）的考古发现，这是一台精巧的行星计算器；
5. 1473年，哥白尼提出日心说，一下子把本轮减少到 31 个；
6. 开普勒提出了具有数学美感的行星运动三大定律，开普勒的理论说明了行星在做些什么，却未给出任何统一的基本理论。