《混沌之新数学》读书笔记:02-万应方程

上一章曾经说过,在我们人类历史上,我们曾一度乐观地认为一切皆有秩序,那就先来看看在那样的纯真年代,我们是如何描绘世界的美景,以及夹杂在其中的少数不和谐音符。

仰望星空

人类构建自然界秩序的历史故事很长很长,作者在本章是从天文研究历史开始讲述的,这里只列出一个枯燥的列表:

  1. 古希腊泰勒斯在公元前585年成功预测日食;
  2. 古希腊毕达哥拉斯强调用数描述宇宙,柏拉图认为地球是圆的,位于宇宙的中心;
  3. 古希腊欧多克斯、阿波洛尼斯、托勒密等人逐渐建立了越来越准确、也越来越复杂的“本轮”天体模型;
  4. 对在希腊安迪基提腊小岛发现的公元前70年的齿轮传动装置(称为安迪基提腊机构)的考古发现,这是一台精巧的行星计算器;
  5. 1473年,哥白尼提出日心说,一下子把本轮减少到 31 个;
  6. 开普勒提出了具有数学美感的行星运动三大定律,开普勒的理论说明了行星在做些什么,却未给出任何统一的基本理论。

世界的体系

故事还在继续,真正强大的英雄登场了。

第一个出场的当然是被誉为“现代科学之父”的伽利略。伽利略于十六和十七世纪在力学和天文学方面的研究发现值得浓墨重彩,尤其是他对仅在重力影响下的落体运动问题的深入研究。

在伽利略之后,牛顿以极其煊赫的方式出场。1687年,牛顿发表了《自然哲学的数学原理》,把所有的运动都归纳为三条简单的定律,用万有引力理论解释行星围绕太阳和卫星环绕行星的运转。除此之外,牛顿与莱布尼茨还分享了发展出微积分学的荣誉。

正如牛顿所说:他论证了世界的体系。法国数学家拉格朗日曾经评价牛顿是“最幸运的,因为我们已经无法再创立一个世界体系了。”

分析一切

在18世纪,欧拉大大发展了微积分理论,并将其应用于数学和物理学。牛顿播下的种子第一次盛开的花是分析力学这门学科:完全地、明确地建立在微积分的基础之上的力学,这一学科的目的首先是找到刻画有关系统的运动的微分方程,然后再解出来(这里的“分析”特指使用微积分对事物进行建模和求解)。在这之后,这种分析方法又开辟了全新的数学物理学领域。

分析力学最初的试炼场,是要弄清数学和音乐之间的亲缘关系:

  1. 1713年,泰勒发现振动弦的基本形式是一条正弦曲线。
  2. 1746年,达朗贝尔使用一种新型方程——偏微分方程——来描述弦的振动受位置和时间的影响,并发现振动弦具有除正弦曲线以外的其他形式。
  3. 欧拉继续了达朗贝尔的研究,认为泰勒的单一正弦波形可以用它的高次谐波(波形相同,但振动频率是基频的2倍、3倍、4倍等等的波)相合成。他还分析了钟和鼓的振动。
  4. 伯努利把欧拉的研究结果推广到管风琴管。
  5. 1759年,拉格朗日把这些思想应用于声波,并在10年内大大发展了一种全面而成功的声学理论。

——物理学从音乐中产生了。

这种方法也被应用于流体动力学中。1752年,欧拉把注意力转向流体动力学,到1755年他已经建立了一组描述无粘性流体运动的偏微分方程组。他把流体看做连续的、无限可分的介质,用依赖于流体粒子位置的连续变量即速度、密度和压强来描述流体的流动,即所谓欧拉描述法。

物理学各个分支逐一接受数学定律的指挥。傅里叶研究出了一个描述热流的方程,并提出求解方程的一种新颖而有力的方法(傅里叶分析),其主要思想在于把任何波形都表示为正弦曲线的叠加。

现代的电磁学、弹性力学、流体力学、热力学、天文学,等等,他们的描述方程都是(偏)微分方程,模拟自然的道路就是微分方程——一个压倒一切的范式产生了。

重新描述

1750年,拉格朗日汲取了欧拉的思想,由此产生了动力学的一个精巧的、影响深远的重新描述。他的工作结晶出两个重要思想:

  1. 能量守恒原理。
  2. 引入广义坐标,导出了不依赖于所选择坐标系的形式的运动方程,即所谓拉格朗日描述法(这是一种与欧拉描述法不同的描述法)。

哈密顿则吸收了上述思想,以更大的概括性再一次重新表述了动力学,创立了被称为哈密顿力学的力学表述。在哈密顿力学中,动力系统的状态用一组广义位置坐标(类似于拉格朗日坐标)和相关的一组动量坐标(对应速度乘以质量)来说明,单一的量(哈密顿量)通过这些位置和动量确定总能量,于是位置坐标和动量坐标随时间的变化率由哈密顿量以一组简单、精巧、统一的方程来表述。

力所不逮

看起来,我们已能建立一切问题的微分方程了,自然界的奥秘也已揭开了。然而,在18世纪,存在的主要问题是:建立方程容易,求解方程却很困难。人们对这一点似乎并不过于灰心——我们已然洞悉了运动的原理,只是分析本身抛弃了我们。

另一方面,还有一些悬而未决的问题。如对三个弹性小球同时碰撞的问题,却一直是人们竭力回避的。

市场中的纠纷

在经典数学物理学取得长足进展的年代,似乎一切事物都具有确定性。然而,很多时候,我们只是局限于我们已知的正好具有确定性的技术,我们只是在建造自己的小天地,在科学的市场中打磨着那些富有光泽的新方程,故意对市场中的吵嚷置之不理。是时候该去看看市场中其他杂乱的摊贩了!