《混沌之新数学》读书笔记:01-混沌出自秩序

故事开始了!——故事是从创世神话开始的。

在各种宗教故事和神话传说中,宇宙最初都处于混沌状态,如同《圣经》所述:“地是空虚混沌,渊面黑暗”。然后,神的行为给世界赋予秩序。

世界的秩序

从混沌求出秩序,这也是人类的与生俱来的冲动。1687年,当一本史无前例的巨著——牛顿的《自然哲学之数学原理》——出版之后,似乎意味着人类已经掌握了万物至理。“大自然有规律,我们能够发现他们”,这也是牛顿给予人类的至深启迪。

以牛顿为顶峰的科学思想革命,认为宇宙就像钟表机构(机械论)。各种运动可以用微分方程描述,只要已知某一动力学系统所有分量的初始位置和初始速度,则描述这一系统的运动的方程就有唯一解。即世界都是有序的,都是按照着严格的定律来的,它的行为完全可以预测,都有因果关系决定(这就是所谓的牛顿主义)。这类思想的巅峰就是决定论(又称拉普拉斯信条),拉普拉斯如是说:

假使有一位智者在任一给定时刻都洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物的相互位置,假使这一智者的智慧巨大到足以使自然界的数据得到分析,他就能将宇宙最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中:对这样的智者来说,没有什么是不能确定的,未来同过去一样都历历在目。

混沌

然后,作者又以两个简单的示例在看似完全有序的世界中引入了混沌。

示例1:向土卫星七旅行

1997年,美国向太空分别发射了两颗探测器:旅行者2号和旅行者1号,这两颗探测器都将掠过土星。虽然旅行者2号比1号早发射16天,但1号却先于2号掠过土星。土星有一颗叫土卫七的卫星,土卫七的轨道精确又规则,但它在轨道中的空间方位角却不精确、不规则——它在以一种复杂的、不规则的方式翻筋斗。现在假设通过旅行者1号精确测定到了土卫七的翻转,似乎就可以预言土卫七在将来的翻转运动。然后,在几个月之后,当旅行者2号再次经过土卫七时,就可以验证预言的正确性。真的能够准确预言吗?

答案是不能,——预言全错了。虽然土卫七的运动的确遵循牛顿定律,其运动方程并不复杂,但依据此方程产生的运动却是如此复杂,对测量如此敏感,以致土卫七的运动看似是完全无规律的。这就是混沌。

示例2:计算器混沌

上例中土卫七的运动受多种因素影响,作者又举了一个简单的示例:一个极其简单的方程在用计算器计算所产生的混沌现象。

这里以更加规范的方式转述一下书中的示例,给定一个简单方程:

$$f=f\left( x \right)$$

给自变量 $x$ 一个初始值 $x_0$,然后对上式进行迭代,即

$$f_0=f\left( x_0 \right)$$ $$f_1=f\left( f_0 \right)$$ $$f_2=f\left( f_1 \right)$$ $$\cdots$$

对于不同的 $f\left( x \right)$ 和 $x_0$,将会产生不同类型的结果。以下是一些迭代示例:

  1. 当 $f=x^2$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果收敛于 0。见此链接
  2. 当 $f=\cos x$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果收敛于 0.7390851。见此链接
  3. 当 $f=\tan x$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果不收敛,也不呈周期性,而是缓慢地增加。见此链接
  4. 当 $f=\mathrm{e}^x$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果很快因数字过大而发生溢出。见此链接
  5. 当 $f=1/x$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果在 1.840908672 和 0.54321 之间发生周期变换。见此链接
  6. 当 $f=x^2 - 1$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果在 0 和 1 之间发生周期变换。见此链接
  7. 当 $f=2x^2 - 1$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果完全没有规律性可言。见此链接
  8. 当 $f=1.74x^2 - 1$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果完全没有规律性可言。见此链接
  9. 当 $f=1.75x^2 - 1$, $x_0 = 0.54321$ 时,迭代结果在 0.744178, -0.030846 和 -0.998334 三个数之间周期变换。见此链接

以上这些都是基于简单的确定的方程,却得到了两种输出:有些输出是有秩序的,有些则是混沌的。这种混沌是小误差繁殖和生长的结果。我们连这种简单问题所产生的混沌都无法理解,更别说针对土卫七了。

什么是混沌?

是该给混沌一个完整准确的定义了。混沌这个词所具有的内涵与它在日常生活中的涵义并不相同。它不是完全的无序、彻底的混乱,也不是我们根本无法想象的宇宙诞生之前世界的虚空混沌状态。这里的混沌指的是数学上的混沌,混沌是在确定性系统中出现的随机形态,或者说混沌是完全由定律支配的无定律形态

混沌与秩序

我们原来只知道秩序出自混沌,却不想混沌也出自秩序。数学家正开始把秩序和混沌看作内在确定论的两种不同表现,典型的系统会以两种形态存在:有的有秩序,有的混沌。这就如同印度教中神性的两种表现:仁慈与愤怒,和谐与不和谐。不是存在相反的两极,而是存在一个连续的谱。和谐与不和谐构成音乐美,秩序与混沌则合成数学美。